2014年度統計検定1級 大問2(統計数理)((2)まで)
大問2(問題文)
連続型確率変数の確率密度関数が、として
で与えられるとき、はパラメータのガンマ分布にしたがうという。ここではガンマ関数を表し、が正の整数ならばである。
(1)パラメータのガンマ分布のモーメント母関数は、に対してであることを示せ。
(2)パラメータのガンマ分布の平均と分散をそれぞれ求めよ。
(3)個の確率変数が、それぞれ互いに独立にのガンマ分布に従うとき、
および、とする。このとき、の確率分布は何か。
また、(Y_1,...,Y_n)ととは互いに独立であることを示せ。
(4)上問(3)で定義されたの同時分布は、互いに独立に区間(0,1)上の一様分布に従う確率変数の順序統計量[tex: U_{(1)}<...
解説
(1)
モーメント母関数の定義を利用して計算すればよいです。
このモーメント母関数の定義がなぜこうなるのか、というお話ですが、テイラー展開した時のn次の項がn次のモーメントに対応しているようです(説明になっているようではぐらかしている)。なのでには0近傍で求めるという以外にあまり意味はないです。詳しくはこの辺(http://www.aandt.co.jp/jpn/qc/basic/bokansu.htm)などを参考にして下さい。
説明はこの辺で終わりにして愚直に計算します。
ここでと置換すると
赤い部分はガンマ分布そのものを表しますから、全区間での積分結果は1になります。
したがってパラメータのガンマ分布のモーメント母関数は、に対してと示せます。