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宇宙一統計ができない農学系M1の勉強用ブログ

PRML悪戦苦闘(演習問題 1.17)

PRML 問題演習 計算問題 ガンマ関数

いつまたやる気をなくすかわかりませんし、扱った問題で出てきた他章の問題については順番に依らず解こうと思います。

1.17

問題文

ガンマ関数は

\Gamma(x)\equiv \int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}du

で定義される。

(1)部分積分を使って関係式 \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)を証明せよ。

(2) \Gamma(1)=1を示し、xが整数なら \Gamma(x+1)=x!となることを示せ。

解答

(1)
指示通りに部分積分します。
{\displaystyle \begin{eqnarray*} \Gamma(x+1) &=&\int_0^\infty u^{x}e^{-u}du\\ &=&\int_0^\infty u^{x}(-e^{-u})'du\\ &=&[ u^{x}(-e^{-u}) ]_0^\infty-\int_0^\infty (u^{x})'(-e^{-u})du\\ &=&\left[ -\frac{u^{x}}{e^u} \right]_0^\infty-\int_0^\infty (u^{x})'(-e^{-u})du\\ &=&(0-0)-\int_0^\infty x(u^{x-1})(-e^{-u})du\\ &=&x\int_0^\infty(u^{x-1})(-e^{-u})du=x\Gamma(x) \end{eqnarray*} }
ということで示せました。



(2)
xが整数なら \Gamma(x+1)=x!(*)となることを数学的帰納法で示します。


(i) x=1のとき
{\displaystyle \begin{eqnarray*} \Gamma(1) &=&\int_0^\infty u^{0}e^{-u}du\\ &=&\int_0^\infty e^{-u}du\\ &=&\left[ -\frac{1}{e^u} \right]_0^\infty\\ &=&-(0-1)=1 \end{eqnarray*} }


(ii)kを整数として、x=k+1のとき(*)が成立すると仮定し、 x=k+2の場合に成り立つことを示します。

(1)を利用して、(*)の左辺を変形すると
{\displaystyle \begin{eqnarray*} \Gamma(k+2)=(k+2)\Gamma(k+1) \end{eqnarray*} }

仮定より、
{\displaystyle \begin{eqnarray*} (k+2)\Gamma(k+1) &=&(k+2)(k+1)!=(k+2)! \end{eqnarray*} }
これは(*)の右辺と一致します。
したがって(i),(ii)より、xが整数のとき、 \Gamma(x+1)=x!が成り立ちます。

今回は易しめですね