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宇宙一統計ができない農学系M1の勉強用ブログ

PRML悪戦苦闘(演習問題 2.3)

PRML 問題演習 証明問題

夏休みの自主課題としてPRMLの演習問題を解いています。間違いがあったらご指摘下さい。

2.3

問題文

(1)
全部でN個ある対象からm個の同じものを選ぶ組み合わせの数の定義 \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}\equiv \frac{N!}{(N-m)!m!}を用いて
{ \displaystyle \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}N\\{m-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{N+1}\\m\end{pmatrix} }を示せ

(2)
(1)の結果を用いて帰納法で次の結果を証明せよ(二項定理)
{ \displaystyle (1+x)^N=\sum_{m=0}^N \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix} x^m }

(3)
二項分布 \sum_{m=0}^N \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix} \mu^m(1-\mu)^{N-m}が正規化されていることを二項定理を用いて示せ


(2)までは高校数学ですね。 \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}は {}_N C_mと同じ意味です。


(1)
{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}N\\{m-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{N+1}\\m\end{pmatrix}&=&\frac{N!}{(N-m)!m!}+\frac{N!}{(N-m+1)!(m-1)!}\\ &=&N!{\frac{N-m+1}{(N-m+1)!m!}+\frac{m}{(N-m+1)!m!}}\\ &=&N! \frac{N+1}{(N-m+1)!m!}\\ &=&\frac{(N+1)!}{(N-m+1)!m!}=\begin{pmatrix}{N+1}\\m\end{pmatrix} \end{eqnarray*} }
よって示せました。


(2)
問題文の指示通り帰納法で示します。

(i)N=0のとき
{ \displaystyle (右辺)=\sum_{m=0}^0 \begin{pmatrix}0\\m\end{pmatrix} x^m=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} x^0=\frac{0!}{(0-0)!0!}=1\\ (左辺)=(1+x)^0=1 }

より(左辺)=(右辺)

(ii)N=kのとき成立すると仮定する
すなわち
{ \displaystyle (1+x)^k=\sum_{m=0}^k \begin{pmatrix}k\\m\end{pmatrix} x^m }
N=k+1のとき
{ \displaystyle \begin{eqnarray*} (右辺)=\sum_{m=0}^{k+1} \begin{pmatrix}{k+1}\\m\end{pmatrix} x^m&=&\sum_{m=1}^{k}\{\begin{pmatrix}k\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\{m-1}\end{pmatrix}\}x^m+\begin{pmatrix}{k+1}\\0\end{pmatrix}x^0+\begin{pmatrix}{k+1}\\{k+1}\end{pmatrix}x^{k+1}\\ &=&\sum_{m=1}^{k}\{\begin{pmatrix}k\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\{m-1}\end{pmatrix}\}x^m+1+x^{k+1}\\ &=&\sum_{m=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\m\end{pmatrix}x^m-\begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}x^0+\sum_{m=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\{m-1}\end{pmatrix}x^m+1+x^{k+1}\\ &=&(x+1)^N+x\sum_{n=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\n\end{pmatrix}x^n-x\begin{pmatrix}k\\k\end{pmatrix}x^k+x^{k+1}\\ &=&(x+1)^N+x(x+1)^N-x^{k+1}+x^{k+1}\\ &=&(x+1)(x+1)^N=(x+1)^{N+1}=(左辺) \end{eqnarray*} }
一行目の式変形で(1)で証明した等式を用いています。
三行目の第二項と第四項が打ち消し合い、四行目と五行目で帰納法の仮定を用いて式変形しています。

(3)
これも指示通りに変形すれば示せます。
{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^N \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix} \mu^m(1-\mu)^{N-m}&=&(1-\mu)^N \sum_{m=0}^N \begin{pmatrix}N\\m\end{pmatrix} (\frac{\mu}{1-\mu})^m\\ &=&(1-\mu)^N \{1+\frac{\mu}{1-\mu}\}^N\\ &=&(1-\mu)^N (\frac{1}{1-\mu})^N=1 \end{eqnarray*} }
よって二項分布が正規化されていることが分かります。
二行目から三行目への変形に(2)で示した二項定理を用いています。