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宇宙一統計ができない農学系M1の勉強用ブログ

PRML悪戦苦闘(演習問題 2.5)

PRML 証明問題 問題演習

2.5

問題文(適当に要約)

ベータ分布 Beta(\mu|a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \mu^{a-1} (1-\mu)^{b-1}が正規化されていることを示す。
これは
\int_0^1 \mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}(1)
を示すことと等価である。
ガンマ関数の定義 \Gamma(x)\equiv \int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}duより、

{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \Gamma(a)\Gamma(b)=\int_0^\infty u^{a-1}e^{-x}dx\int_0^\infty u^{b-1}e^{-y}dy \end{eqnarray*} }
を得る。この式を用いて(1)を証明せよ

解答

ガンマ関数の性質については演習1.17が詳しいです(そのうちまとめます)
→まとめました！blue0620.hatenablog.com


{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \Gamma(a)\Gamma(b)&=&\int_0^\infty u^{a-1}e^{-x}dx\int_0^\infty u^{b-1}e^{-y}dy\\ &=&\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-{x+y}}x^{a-1}y^{b-1}dydx \end{eqnarray*} }

t=y+xとする。 \frac{dt}{dy}=1より、

{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-t}x^{a-1}{t-x}^{b-1}dtdx&=&\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-t}x^{a-1}{t-x}^{b-1}dxdt \end{eqnarray*} }

x=t\muとする。\frac{dx}{d\mu}=tより、


{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-t}{t\mu}^{a-1}(t-t\mu)^{b-1}t d\mu dt&=&\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-t}{t}^{a-1}{\mu}^{a-1}{t}^{b-1}(1-\mu)^{b-1}t d\mu dt\\ &=&\int_0^\infty {\mu}^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu \int_0^\infty e^{-t}{t}{t}^{a-1}{t}^{b-1}dt\\ &=&\int_0^\infty {\mu}^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu \int_0^\infty e^{-t}{t}^{a+b-1}dt\\ &=&\int_0^\infty {\mu}^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu \Gamma(a+b)=\Gamma(a)\Gamma(b) \end{eqnarray*} }

したがって、
{ \displaystyle \begin{eqnarray*} \int_0^1 \mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \end{eqnarray*} }

より、ベータ分布が正規化されていると言えます。